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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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7. Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
s) $f(x)= \begin{cases}x^{2} & \text { si } x \leq 1 \\ (x-2)^{2} & \text { si } x>1\end{cases}$

Respuesta

Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones. A diferencia de los items anteriores, el único cuidado que vamos a tener que tener es que se trata de una función partida. 1) Identificamos el dominio de $f(x)$ El dominio de $f$ es todo $\mathbb{R}$. 2) Asíntotas - Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R}$, esta función no tiene asíntotas verticales. - Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$. Ojo porque cambia la expresión que uso en cada caso:

$\lim_{x \to +\infty} (x-2)^2 = +\infty$

$\lim_{x \to -\infty} x^2 = +\infty$ 
Por lo tanto, $f$ no tiene asíntotas horizontales 3) Calculamos $f'(x)$:

Bueno, atenti acá. Para cualquier $x$ mayor estricto que $1$ o menor estricto que $1$, puedo usar reglas de derivación. Me quedaría así:

$f'(x)= \begin{cases}2x & \text { si } x < 1 \\ 2(x-2) & \text { si } x>1\end{cases}$ 

Para el caso particular $x=1$ tenemos que derivar usando el cociente incremental, igual que venimos haciendo desde la guía pasada. Si venis siguiendo esos ejercicios y entendiéndolos, este queda muy fácil, nada que ver a los choclazos que ya resolvimos. Vas a ver que efectivamente $f$ no es derivable en $x=1$ (el límite por izquierda te va a dar $2$ y el límite por derecha $-2$, como no coinciden, el límite no existe y $f$ no es derivable)

Como $f'(x)$ no está definida en $x=1$, pero este si pertenecía al dominio de $f$, entonces $x=1$ es punto crítico.  4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar si hay otros puntos críticos. Tengo que evaluar cada sector por separado:

Para $x < 1$

$2x = 0$

Por lo tanto, tenemos un punto crítico en $x=0$

Para $x > 1$

$2(x-2) = 0$

Por lo tanto, en esta parte tenemos otro punto crítico en $x= 2$ 5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:

a) $x < 0$

b) $0 < x < 1$

c) $1 < x < 2$

d) $x > 2$ 6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos: a) Para $x < 0$ $f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente. b) Para $0 < x < 1$, $f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente. c) Para $1 < x < 2$ $f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente.

d) Para $x > 2$
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente.
Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra:

2024-04-20%2009:54:28_7571599.png
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Avatar Luli 26 de febrero 10:22
Flor, por qué cuando derivamos la función, las x pasan a ser mayor/menor estricto? Porque antes había un x menor  o igual a 1 y ahora no! Gracias :D
Avatar Flor Profesor 27 de febrero 10:04
@Luli Hola Luli! Muy buena pregunta! En este caso es porque $f'(1)$ no existe, $f$ no es derivable en $x=1$... pero todos esos pasos me lo saltee eh jaja fijate que lo escribí en una oración y se los dejé para que lo hagan ustedes como veníamos haciendo en los ejercicios de estudiar derivabilidad, porque sino iba a quedar eterno jaja

Vos tenés $f$ una función partida, para saber cuanto vale juuuusto $f'(1)$ hay que calcularlo usando el cociente incremental... haciendo esos pasos deberías llegar a que $f$ no es derivable en $x=1$

Entonces $f'(x)$ nos quedó escrita como una función partida que no está definida en x = 1. En cambio si $f$ hubiera sido derivable en $x=1$, ahí si al definir $f'(x)$ tendríamos que haber agregado cuánto valia en $x=1$
Avatar Luli 3 de marzo 08:16
@Flor perfecto!!
Avatar Benjamin 21 de mayo 18:00
pueden aparecer funciones partidas en parciales?
Avatar Flor Profesor 21 de mayo 20:25
@Benjamin Todo podría pasar, pero honestamente en los parciales de los últimos años jamás vi que aparezcan funciones partidas en el ejercicio de estudio de funciones! 
Avatar Benjamin 22 de mayo 08:20
elijo creer entonces jaja
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